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Fama-French 三因子 / 五因子模型

直觉​

模块 1.6 的 CAPM 只用一个市场因子解释收益。但实证发现，小盘股、价值股等也有系统性溢价，单靠市场解释不充分。Fama-French 用多个因子做回归，能解释掉更多收益波动，剩下的 α\alpha 才是「真正无法解释的超额」。

因子模型​

资产超额收益对多个因子回归：

Rie=α+βMKT MKT+βSMB SMB+βHML HML+εR_i^e = \alpha + \beta_{\text{MKT}}\,\text{MKT} + \beta_{\text{SMB}}\,\text{SMB} + \beta_{\text{HML}}\,\text{HML} + \varepsilon
  • MKT：市场超额收益（CAPM 的那个）；
  • SMB：Small Minus Big，小盘相对大盘的溢价；
  • HML：High Minus Low，高账面市值比（价值）相对成长的溢价；
  • 五因子再补 RMW（盈利）、CMA（投资）。
「人话」解释：为什么要多因子？

如果一只股票的收益其实来自「它是小盘股」（SMB 暴露），用单因子 CAPM 回归，这部分会被算进 α\alpha，让你误以为「找到了超额能力」。 加入 SMB 后，这部分被「解释掉」，α\alpha 缩小、R2R^2 上升——这才是更诚实的归因。 所以因子越全，剩下的 α\alpha 越「干净」（也通常越小）。

可运行案例：单因子 vs 三因子 vs 五因子​

构造一个只对 MKT/SMB/HML 有暴露的资产，分别用 1/3/5 因子回归，对比 α\alpha 与 R2R^2——单因子会因遗漏 SMB/HML 而虚高 α\alpha。

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

ff = pd.read_csv('/data/ff_factors_monthly.csv', parse_dates=['date']).set_index('date')
MKT, SMB, HML, RMW, CMA = (ff[c].values for c in ['MKT','SMB','HML','RMW','CMA'])

rng = np.random.default_rng(7)
# 真实敞口: MKT=1.2, SMB=0.5, HML=0.3; 月 alpha=0.2%; 无 RMW/CMA 暴露
asset = 0.002 + 1.2*MKT + 0.5*SMB + 0.3*HML + rng.normal(0, 0.02, len(ff))

def ols(y, X):
  X1 = np.column_stack([np.ones(len(y)), X])
  b, *_ = np.linalg.lstsq(X1, y, rcond=None)
  resid = y - X1 @ b
  r2 = 1 - resid.var(ddof=0) / y.var(ddof=0)
  return b, r2

b1, r2_1 = ols(asset, MKT)
b3, r2_3 = ols(asset, np.column_stack([MKT, SMB, HML]))
b5, r2_5 = ols(asset, np.column_stack([MKT, SMB, HML, RMW, CMA]))

print("真值: alpha(月)=0.002  β(MKT,SMB,HML)=(1.2,0.5,0.3)")
print(f"\n单因子(MKT)   alpha={b1[0]*12:+.3%}/年  β_MKT={b1[1]:.2f}        R²={r2_1:.3f}")
print(f"三因子(3F)    alpha={b3[0]*12:+.3%}/年  β=({b3[1]:.2f},{b3[2]:.2f},{b3[3]:.2f})  R²={r2_3:.3f}")
print(f"五因子(5F)    alpha={b5[0]*12:+.3%}/年  β_MKT={b5[1]:.2f}            R²={r2_5:.3f}")
print("\n→ 单因子遗漏 SMB/HML, alpha 虚高; 三因子还原真值、alpha≈0、R² 最高。")

models = ['单因子', '三因子', '五因子']
plt.figure(figsize=(7, 3.4))
plt.subplot(1, 2, 1); plt.bar(models, [r2_1, r2_3, r2_5], color='#2563eb'); plt.title('R² (越高越好)')
plt.subplot(1, 2, 2); plt.bar(models, [b1[0]*12, b3[0]*12, b5[0]*12], color='crimson'); plt.title('alpha/年 (越接近0越好)')
plt.tight_layout(); plt.show()

小结​

  • Fama-French 用 MKT/SMB/HML（三因子）或加 RMW/CMA（五因子）解释收益；
  • 因子越全，被「解释掉」的收益越多，剩余 α\alpha 越干净；
  • 单因子回归常高估 α\alpha——多因子是更诚实的绩效归因。