复利与年化

直觉

「一年涨 10%」听起来很美好，但怎么涨决定了真实的结局：是每天稳稳涨一点（复利），还是某天暴涨一次？复利让收益滚动放大，同时也带来一个隐藏成本——波动率拖累：同样的平均收益，波动越大，最终到手越少。

数学原理

算术平均 vs 几何平均

$n$ 期的收益率为 $R_1,\dots,R_n$：

$$\text{算术平均} = \frac{1}{n}\sum_{t} R_t, \qquad \text{几何平均} = \left(\prod_{t}(1+R_t)\right)^{1/n} - 1$$

「人话」解释：该用哪个？

算术平均是「每期平均赚多少」，适合做单期统计（如估方差、夏普）。 几何平均才是「真正复利下来的平均增速」，适合算长期年化收益。 长期看，几何平均 $\leq$ 算术平均，差的就是波动率拖累。

年化

设一年有 $k$ 个周期（日 $k=252$、月 $k=12$）。对对数收益，年化最干净：

$$\mu_{\text{ann}} = k\cdot \bar r, \qquad \sigma_{\text{ann}} = \sigma\sqrt{k}$$

对简单收益，复利年化收益率为：

$$R_{\text{ann}} = (1+R_g)^{k} - 1$$

波动率拖累

当收益近似正态时，几何与算术平均有著名关系：

$$R_g \approx \bar R - \tfrac{1}{2}\sigma^2$$

也就是说，每多一份方差，复利收益就被吃掉一半。

可运行案例：高波动如何侵蚀复利

我们模拟平均收益完全相同、但波动不同的两条路径，比较它们的几何平均（真实年化）。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

rng = np.random.default_rng(11)

mean_daily = 0.05 / 252          # 两条路径的"算术"日均收益相同
vols = [0.10, 0.40]              # 低波动 vs 高波动（年化）
T = 252 * 5                      # 5 年

plt.figure(figsize=(9, 3.8))
for vol in vols:
  r = rng.normal(mean_daily, vol/np.sqrt(252), T)
  equity = 100 * np.cumprod(1 + r)
  arith = r.mean()
  geom = (1 + r).prod() ** (1/len(r)) - 1
  drag = 0.5 * (r.std(ddof=0))**2 * 252      # 年化拖累 ≈ 0.5σ²
  plt.plot(equity, label=f"年化波动{vol:.0%}  几何年化{geom*252:.2%}  拖勒≈{drag:.2%}")
  print(f"波动{vol:.0%}: 算术年化{arith*252:.2%}  几何年化{geom*252:.2%}  差≈{(arith-geom)*252:.2%}")

plt.axhline(100, color="gray", lw=0.8)
plt.title("同样平均收益，高波动让复利结果大打折扣")
plt.xlabel("交易日"); plt.ylabel("资金(起点100)"); plt.legend(fontsize=9)
plt.tight_layout(); plt.show()

动手改一改

把 vols 改成 [0.10, 0.40, 0.80]——年化波动 80% 时，即便算术平均为正，几何年化可能变成负的。这就是为什么风控如此重要。

小结

• 单期统计用算术平均，长期年化用几何平均；
• 年化：对数收益 $\times k$、波动率 $\times\sqrt{k}$；
• 波动率拖累 $R_g \approx \bar R - \tfrac12\sigma^2$：波动越大，复利越受伤。