相关性与协方差

:::info 学习目标你将能从协方差得到相关系数，检查协方差矩阵是否合法，并识别非线性关系、异常值和市场状态变化对相关性的影响。 :::

直觉

「鸡蛋别放一个篮子」背后的数学，就是相关性：两个资产同涨同跌的程度。相关性低，组合才能分散风险。这一节用多资产数据，看股、债、商品、REIT 之间到底有多「相关」。

数学原理

两个随机变量 $X, Y$ ：

\text{Cov}(X,Y) = E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)], \qquad \rho_{X,Y} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} \in [-1, 1]

「人话」解释：协方差与相关系数的区别

协方差：带单位的「联动大小」，数值依赖资产量纲，不好直接比较。
相关系数 $\rho$ ：归一化到 $[-1,1]$ 。 $+1$ 完全同向， $-1$ 完全反向， $0$ 线性无关。
关键： $\rho=0$ 只代表线性无关，不代表独立（非线性关系可能很强但 $\rho\approx0$ ）。
组合的方差是 $\sigma_p^2 = \sum_i w_i^2\sigma_i^2 + \sum_{i\ne j} w_i w_j \rho_{ij}\sigma_i\sigma_j$ ——分散化的全部魔法就在交叉项 $\rho$ 里。

可运行案例：四类资产的相关矩阵

读取 multi_asset_daily.csv（股/债/商品/REIT），算收益的相关矩阵并画成热力图。留意股-债为负相关——这正是分散化的来源。

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

df = pd.read_csv('/data/multi_asset_daily.csv', parse_dates=['date']).set_index('date')
assets = ['equity', 'bond', 'commodity', 'reit']
ret = np.log(df[assets] / df[assets].shift(1)).dropna()

corr = ret.corr()
cov = ret.cov()

print("相关矩阵:"); print(corr.round(3))
print("\n年化波动:")
print((ret.std(ddof=0) * np.sqrt(252)).round(3))

# 热力图
plt.figure(figsize=(4.6, 4))
im = plt.imshow(corr.values, vmin=-1, vmax=1, cmap='RdYlGn')
plt.colorbar(im, fraction=0.046, label='相关系数')
plt.xticks(range(len(assets)), assets); plt.yticks(range(len(assets)), assets)
for i in range(len(assets)):
  for j in range(len(assets)):
      plt.text(j, i, f"{corr.values[i,j]:.2f}", ha='center', va='center',
               color='black', fontsize=11)
plt.title("四类资产收益相关矩阵"); plt.tight_layout(); plt.show()

动手改一改

把计算窗口改成滚动相关，例如 ret['equity'].rolling(252).corr(ret['bond'])，画出来——你会发现相关性并不稳定，危机时股债相关常常上升，分散效果在「最需要它的时候」打折扣。

适用边界与常见误区

Pearson 相关只度量线性共动，且会被极端值和共同趋势影响。对价格水平直接算相关通常没有意义，应使用同频、同步的收益；还可查看 Spearman 秩相关、滚动相关和下跌期相关。用于优化的协方差矩阵必须对称半正定，小样本下可采用收缩估计减少噪声。

实践与延伸

构造 $Y=X^2$ ，观察 Pearson 相关接近零却存在确定关系。
分正常期和压力期估相关矩阵，检查股债分散化是否稳定。

延伸阅读：Ledoit–Wolf 协方差收缩；尾部相关与 copula 入门资料。

小结

协方差看联动大小，相关系数归一化到 $[-1,1]$ ；
相关越低，组合分散越好；但 $\rho=0$ 仅代表线性无关；
相关性随时间变化，别把历史相关当作永恒常数（模块 7 组合优化会处理）。

章末自测

检查核心概念

1. 关于本章主题，哪项说法更准确？

直觉​

数学原理​

可运行案例：四类资产的相关矩阵​

动手改一改​

适用边界与常见误区​

实践与延伸​

小结​