跳到主要内容

对数收益率

直觉​

我们关心的不是价格本身，而是价格的变化。两种常见的度量方式：

  • 简单收益率：Rt=Pt−Pt−1Pt−1=PtPt−1−1R_t = \dfrac{P_t - P_{t-1}}{P_{t-1}} = \dfrac{P_t}{P_{t-1}} - 1
  • 对数收益率：rt=ln⁡ ⁣(PtPt−1)=ln⁡Pt−ln⁡Pt−1r_t = \ln\!\left(\dfrac{P_t}{P_{t-1}}\right) = \ln P_t - \ln P_{t-1}

对数收益率在量化里用得更多，因为它可加：多期收益直接相加即可。

数学原理​

设连续 nn 期的对数收益率为 r1,r2,…,rnr_1, r_2, \dots, r_n，则总对数收益率为

r1→n=∑t=1nrt=ln⁡ ⁣(PnP0)r_{1\to n} = \sum_{t=1}^{n} r_t = \ln\!\left(\frac{P_n}{P_0}\right)

而简单收益率只能用连乘：1+R1→n=∏t=1n(1+Rt)1 + R_{1\to n} = \prod_{t=1}^{n}(1 + R_t)。

「人话」解释：为什么可加这么重要？

求和比连乘好处理得多 —— 求均值、求方差、做正态性假设、做回归，都建立在「可加」之上。 当单期收益较小时，rt≈Rtr_t \approx R_t（因为 ln⁡(1+x)≈x\ln(1+x)\approx x），两者数值很接近； 但跨多期累计时，对数收益率的可加性让统计分析干净利落。

年化换算（假设一年 252 个交易日，收益独立同分布）：

μann=252 rˉ,σann=σdaily252\mu_{\text{ann}} = 252\,\bar{r}, \qquad \sigma_{\text{ann}} = \sigma_{\text{daily}}\sqrt{252}

可运行代码案例​

下面这段代码会模拟一段几何布朗运动价格，计算简单收益率与对数收益率，对比两者，并画出价格与收益率分布。 点「运行」即可执行；你也可以直接改 mu、sigma、n_days 再跑一遍。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

rng = np.random.default_rng(42)

# —— 参数（可自行修改）——
n_days = 252        # 交易日数
mu = 0.08           # 年化漂移
sigma = 0.20        # 年化波动率
P0 = 100.0          # 初始价格

dt = 1 / 252
# 几何布朗运动：对数收益率 ~ 正态
log_rets = (mu - 0.5 * sigma**2) * dt + sigma * np.sqrt(dt) * rng.standard_normal(n_days)
prices = P0 * np.exp(np.cumsum(log_rets))
prices = np.insert(prices, 0, P0)

# 两种收益率
simple_ret = prices[1:] / prices[:-1] - 1
log_ret = np.log(prices[1:] / prices[:-1])

print(f"日均对数收益率   : {log_ret.mean():.5f}")
print(f"日波动率         : {log_ret.std():.5f}")
print(f"年化收益(对数)   : {log_ret.mean()*252:.4f}")
print(f"年化波动率       : {log_ret.std()*np.sqrt(252):.4f}")
print(f"简单 vs 对数 最大差异: {np.abs(simple_ret - log_ret).max():.6f}")

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 4))
axes[0].plot(prices, color="#2563eb")
axes[0].set_title("Simulated Price Path")
axes[0].set_xlabel("day"); axes[0].set_ylabel("price")

axes[1].hist(log_ret, bins=30, color="#10b981", alpha=0.8)
axes[1].set_title("Log Return Distribution")
axes[1].set_xlabel("log return"); axes[1].set_ylabel("count")
plt.tight_layout()
plt.show()

动手改一改​

试着把 sigma 从 0.20 调到 0.40，再运行 —— 观察价格路径变得多么剧烈，以及收益率分布如何变宽。 这就是「波动率」的直观含义。

小结​

  • 对数收益率 rt=ln⁡(Pt/Pt−1)r_t = \ln(P_t/P_{t-1}) 可加，是量化分析的默认选择；
  • 小收益时 rt≈Rtr_t \approx R_t；
  • 年化：均值 ×252\times 252、波动率 ×252\times \sqrt{252}。

下一节我们会用真实的价格数据，研究收益率分布的「肥尾」现象。

小测验​

1. 对数收益率相比简单收益的核心优点是？

2. 当单期收益很小时，对数收益 r 与简单收益 R 的关系？

3. 把日波动率年化，标准差应乘以？