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波动率估计：历史 / EWMA / 已实现

直觉​

「波动率」就是收益率的离散程度，是风险的代名词。但「怎么算」有好几种，结论可能差很多：历史波动率看一段固定窗口的方差；EWMA 让近期波动权重更大、能快速响应；已实现波动率用高频数据累积。本节对比三种。

三种估计​

1. 历史波动率​

过去 NN 期收益的样本标准差，年化乘 252\sqrt{252}：

σt=1N−1∑i(rt−i−rˉ)2⋅252\sigma_t = \sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{i}(r_{t-i}-\bar r)^2}\cdot\sqrt{252}

2. EWMA 波动率（RiskMetrics）​

让方差呈指数衰减，近期冲击权重更大：

σt2=λ σt−12+(1−λ) rt−12,λ≈0.94\sigma_t^2 = \lambda\,\sigma_{t-1}^2 + (1-\lambda)\,r_{t-1}^2, \qquad \lambda\approx 0.94

3. 已实现波动率​

一段时间内平方收益的累加（高频视角的离散近似）：

RVt=∑iri2\text{RV}_t = \sqrt{\sum_{i} r_i^2}
「人话」解释：为什么要分这几种？

历史波动率简单稳定，但「反应慢」——大跌之后还要等满 NN 天才体现。 EWMA 用衰减权重，大跌当天方差就跳起来，更适合风控实时跟踪。 已实现波动率用更细颗粒的收益平方和，理论上最贴近「真实」波动，但需要高频数据。 本书日频数据下，历史与 EWMA 最好对比。

可运行案例：三种波动率并排​

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

df = pd.read_csv('/data/spy_daily.csv', parse_dates=['date']).set_index('date')
r = np.log(df['close'] / df['close'].shift(1)).dropna()

# 1) 历史波动率(20日窗口年化)
hist_vol = r.rolling(20).std(ddof=0) * np.sqrt(252)

# 2) EWMA 波动率(λ=0.94) 年化
lam = 0.94
ewma_var = (r**2).ewm(alpha=1-lam, adjust=False).mean()
ewma_vol = np.sqrt(ewma_var) * np.sqrt(252)

# 3) 已实现波动率(20日内平方收益和开根, 年化)
realized = np.sqrt((r**2).rolling(20).sum()) * np.sqrt(252)

vol = pd.DataFrame({'历史': hist_vol, 'EWMA': ewma_vol, '已实现': realized})
print("波动率(年化)描述:"); print(vol.describe().round(3))

vol.plot(figsize=(9, 3.8))
plt.title("三种波动率估计对比"); plt.ylabel("年化波动率")
plt.tight_layout(); plt.show()

动手改一改​

把 λ\lambda 从 0.94 调到 0.99（衰减更慢）——EWMA 曲线会变得更平滑、对冲击反应迟钝；调到 0.80 则极其敏感。这就是「记忆长度」。

小结​

  • 历史波动率：固定窗口标准差，稳定但滞后；
  • EWMA：指数衰减，λ≈0.94\lambda\approx0.94，响应快，风控常用；
  • 已实现波动率：平方收益累加，贴近真实但需高频数据。