在险价值 VaR 与条件在险价值 CVaR

:::info 学习目标你将能统一损失正负号、持有期和置信水平，比较三种估计方法，并用覆盖率与独立性检验回测 VaR。 :::

直觉

「损失有 95% 的概率不超过哪条线？」——这是 VaR（Value at Risk，在险价值） 回答的问题。它是给定持有期与置信水平下的损失分位数，仍有 5% 的概率被突破，并不是“最大可能损失”。**CVaR（Conditional VaR，又称 Expected Shortfall）**进一步回答：一旦越过 VaR，平均会亏多少。对肥尾收益，CVaR 通常比 VaR 更能反映尾部严重程度。

定义

设损失 $L=-R$ ，置信水平 $1-\alpha$ （如 $\alpha=0.05$ ）：

\text{VaR}_\alpha(L) = \inf\{l:\Pr(L\le l) \ge 1-\alpha\}

\text{CVaR}_\alpha(L) = \mathbb{E}[\,L\,\big|\,L\ge \text{VaR}_\alpha(L)\,]

三种估计法：历史法（直接取经验分位）、参数法（假设正态，用 $\mu,\sigma$ ）、蒙特卡洛法（从拟合分布抽样）。

「人话」解释：VaR 与 CVaR 的差别，为什么 CVaR 更好？

VaR 像一条按历史或模型估出的洪水位——在模型成立时，约 95% 的日子亏不过这条线，但对剩下 5% 一无所知：可能只多亏一点，也可能非常严重。一般的 VaR 还不保证次可加性；组合后的 VaR 可能出现不符合分散化直觉的结果。 CVaR 是「一旦被淹，平均淹多深」，它把整条左尾都纳入考量，肥尾越厚 CVaR 比 VaR 高得越多，是巴塞尔协议推崇的指标。

可运行案例：等权四资产组合的 VaR/CVaR（三种方法）

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm

df = pd.read_csv('/data/multi_asset_daily.csv', parse_dates=['date']).set_index('date')
w = np.array([0.25]*4)                                    # 等权: 股/债/商品/REIT
port = df.pct_change().fillna(0) @ w                      # 组合日收益
alpha = 0.05

# 1) 历史法
hist_var = -np.quantile(port, alpha)
hist_cvar = -port[port <= np.quantile(port, alpha)].mean()

# 2) 参数法(正态)
mu, sd = port.mean(), port.std()
par_var = -(mu + norm.ppf(alpha) * sd)
par_cvar = -(mu - sd * norm.pdf(norm.ppf(alpha)) / alpha)

# 3) 蒙特卡洛: 从拟合正态抽样
rng = np.random.default_rng(0)
sim = rng.normal(mu, sd, 100000)
mc_var = -np.quantile(sim, alpha)
mc_cvar = -sim[sim <= np.quantile(sim, alpha)].mean()

print(f"{'方法':8} {'VaR95(日)':>10} {'CVaR95(日)':>10}")
for n, v, c in [('历史法', hist_var, hist_cvar), ('参数法', par_var, par_cvar), ('蒙特卡洛', mc_var, mc_cvar)]:
  print(f"{n:8} {v:>9.2%} {c:>9.2%}")
print("\n注: CVaR ≥ VaR, 反映'越线后的平均损失'更重。")

plt.figure(figsize=(9, 3.5))
plt.hist(port, bins=60, color='lightsteelblue', edgecolor='k', alpha=0.8)
plt.axvline(-hist_var, color='orange', lw=1.6, label=f'VaR95={hist_var:.2%}')
plt.axvline(-hist_cvar, color='crimson', lw=1.6, label=f'CVaR95={hist_cvar:.2%}')
plt.title('组合日收益分布与尾部风险'); plt.xlabel('日收益'); plt.legend(fontsize=9)
plt.tight_layout(); plt.show()

动手改一改

把蒙特卡洛的抽样分布从正态 rng.normal(mu,sd,...) 换成学生 t（from scipy.stats import t; sim = t.rvs(4, loc=mu, scale=sd, size=100000, random_state=0)），观察肥尾让 CVaR 明显上升——这正是正态假设低估的尾部。

模型验证与边界

VaR 数字必须同时带持有期和置信水平，例如“1 日 99% VaR”。平方根时间缩放只在近似 IID、波动稳定时适用。模型上线后要统计实际超越次数是否接近 $\alpha$ ，超越是否成簇；历史法受窗口限制，正态法低估肥尾，蒙特卡洛则完全依赖所选模型。

实践与延伸

做滚动 95% VaR，统计 OOS 超越率和最长连续超越。
比较正态、Student-t 与历史模拟的 99% CVaR。

延伸阅读：Kupiec 覆盖率检验；Christoffersen 条件覆盖检验；Expected Shortfall 回测。

小结

VaR：给定置信水平下损失的上限；CVaR：越线后的平均损失，更能刻画肥尾；
历史/参数/蒙特卡洛三种法各有取舍：历史不假设分布、参数快但依赖正态、MC 灵活可拟合任意分布；
尾部越厚，CVaR 比 VaR 高得越多——管风险要盯 CVaR。

章末自测

检查核心概念

1. 关于本章主题，哪项说法更准确？

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模型验证与边界​

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