配对交易 · 协整

直觉

配对交易是统计套利的经典：找两只「长期绑在一起」的股票（比如同一行业的龙头），它们的价差虽然时大时小，但总会回归均值。价差拉得太开就「做空强的、做多弱的」，赌它收敛。关键前提是两只股票协整（cointegrated）——各自乱走，但差值平稳。

协整与价差

两只股票价格 $y, x$ 各自是非平稳的，但若存在 $\beta$ 使

$$\text{spread}_t = \ln y_t - \beta \ln x_t$$

平稳（均值与方差恒定），则称二者协整，$\beta$ 是对冲比率。

「人话」解释：协整 vs 相关，区别在哪？

相关是「同涨同跌」——两个都涨的序列相关性可能很高。 协整更强：要求「差值」稳定在某个水平附近，不会越走越远。 两条同时上涨的线可能高度相关、但差值发散（不协整）；只有差值「像橡皮筋拉住」的，才能做配对交易——因为你可以确信「价差终会回来」。

交易规则（z-score 进出场）

用价差的滚动 z-score：

$$z_t = \frac{\text{spread}_t - \overline{\text{spread}}_{60}}{\sigma_{60}(\text{spread})}$$

• $z < -2$ → 价差过低，做多价差（多 $y$、空 $\beta x$）；
• $z > +2$ → 价差过高，做空价差；
• $|z| < 0.5$ → 回归，平仓。

可运行案例：AAPL / MSFT 配对（合成数据）

读取 aapl_msft_daily.csv，OLS 估计 $\beta$，构造价差与 z-score，按规则交易。价差组合的收益 = $r^{aapl} - \beta\, r^{msft}$。

:::caution 合成数据 本数据刻意协整（真值 $\beta\approx1.30$，价差 ADF $t\approx-14\ll-2.86$）。你估计出的 $\beta$ 会偏离真值——这正是「估计误差」的教学点，并非套利 bug。 :::

import quant
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

df = pd.read_csv('/data/aapl_msft_daily.csv', parse_dates=['date']).set_index('date')
pa, pm = df['aapl_close'], df['msft_close']
la, lm = np.log(pa), np.log(pm)

# OLS: la ~ a + b*lm
x, y = lm.values, la.values
b = np.cov(x, y, ddof=0)[0,1] / np.var(x)
a = y.mean() - b * x.mean()
spread = la - (a + b*lm)            # 残差(近似平稳)
print(f"估计 β = {b:.3f}   (合成数据真值 ≈ 1.30)")

z = (spread - spread.rolling(60).mean()) / spread.rolling(60).std()

raw = pd.Series(np.nan, index=pa.index)
raw[z < -2.0] = 1.0
raw[z >  2.0] = -1.0
raw[z.abs() < 0.5] = 0.0
signal = raw.ffill().fillna(0.0)

# 价差组合收益 = aapl 对数收益 − β*msft 对数收益
ra = np.log(pa / pa.shift(1)); rm = np.log(pm / pm.shift(1))
spread_ret = (ra - b*rm).fillna(0.0)
position = signal.shift(1).fillna(0.0)        # 防前视(同引擎约定)
strat_ret = (position * spread_ret).fillna(0.0)
equity = (1 + strat_ret).cumprod()

print(quant.performance_summary(equity, strat_ret, freq=252).round(3))

fig, ax = plt.subplots(2, 1, figsize=(9, 5), sharex=True,
                     gridspec_kw={'height_ratios':[2,1]})
ax[0].plot(z, color='#2563eb', lw=0.9); ax[0].axhline(2, color='r', ls='--', lw=0.8)
ax[0].axhline(-2, color='g', ls='--', lw=0.8); ax[0].axhline(0, color='gray', lw=0.8)
ax[0].set_title('价差 z-score（红=做空价差, 绿=做多价差）')
ax[1].plot(equity, color='crimson'); ax[1].set_title('配对策略资金曲线')
plt.tight_layout(); plt.show()

动手改一改：拖动阈值即时看回测

拖动进场阈值 $|z|$ 与平仓阈值——阈值越小交易越频繁、成本越敏感；越大越挑剔、信号越少。

# ParamSlider（SSR 预览）
参数: ENTRY, EXIT

import quant
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

df = pd.read_csv('/data/aapl_msft_daily.csv', parse_dates=['date']).set_index('date')
pa, pm = df['aapl_close'], df['msft_close']
la, lm = np.log(pa), np.log(pm)
x, y = lm.values, la.values
b = np.cov(x, y, ddof=0)[0, 1] / np.var(x)
a = y.mean() - b * x.mean()
spread = la - (a + b * lm)
z = (spread - spread.rolling(60).mean()) / spread.rolling(60).std()

raw = pd.Series(np.nan, index=pa.index)
raw[z < -ENTRY] = 1.0
raw[z >  ENTRY] = -1.0
raw[z.abs() < EXIT] = 0.0
signal = raw.ffill().fillna(0.0)

ra = np.log(pa / pa.shift(1)); rm = np.log(pm / pm.shift(1))
spread_ret = (ra - b * rm).fillna(0.0)
strat = (signal.shift(1).fillna(0.0) * spread_ret).fillna(0.0)
eq = (1 + strat).cumprod()

print(quant.performance_summary(eq, strat, freq=252).round(3))
plt.figure(figsize=(9, 3.4))
plt.plot(eq, color='crimson')
plt.title(f'配对策略  进场 |z|>{ENTRY}  平仓 |z|<{EXIT}'); plt.ylabel('净值')
plt.tight_layout(); plt.show()

进一步：把代码里的对冲比率 b 手动改成 1.30（真值）再跑——用真值时价差更平稳、回撤往往更小，凸显精确估计 β 的价值。

小结

• 配对交易赌的是协整价差的均值回归；
• $\beta$ 由 OLS 估计，价差 $=\ln y-\beta\ln x$，z-score 决定进出场；
• 协整 $\ne$ 相关——只有差值平稳的「橡皮筋」关系才能套利。