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波动率聚集与 ARCH / GARCH

直觉​

上一节看到「收益均值难预测」。但收益的波动却有结构——大波动后面常跟着大波动，小波动跟着小波动，这叫波动率聚集。ARCH/GARCH 正是建模这种「方差随时间变化」的工具，是风险管理和期权定价的核心。

GARCH(1,1)​

条件方差 σt2\sigma_t^2 依赖上一期的冲击与上一期的方差：

σt2=ω+α εt−12+β σt−12\sigma_t^2 = \omega + \alpha\,\varepsilon_{t-1}^2 + \beta\,\sigma_{t-1}^2

假设 εt∼N(0,σt2)\varepsilon_t \sim N(0, \sigma_t^2)，用最大似然估计参数 (ω,α,β)(\omega,\alpha,\beta)。

「人话」解释：α、β、α+β 各是什么？
  • α\alpha：新冲击对方差的拉动（昨天大涨大跌，今天波动放大多少）；
  • β\beta：旧方差的惯性（波动自身的记忆）；
  • α+β\alpha+\beta：持续性，越接近 1，波动「记忆」越长、冲击的影响消退越慢（>1 则不稳定、爆炸）。 α+β\alpha+\beta 在成熟市场常在 0.95~0.99。

可运行案例：用 MLE 估计 GARCH(1,1)​

Pyodide 没有 arch 包，我们手写 GARCH(1,1) 的对数似然，用 scipy.optimize 估计参数（运行稍慢，几十秒级）。

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import minimize

df = pd.read_csv('/data/spy_daily.csv', parse_dates=['date']).set_index('date')
r = np.log(df['adj_close'] / df['adj_close'].shift(1)).dropna().values
r = r - r.mean()                       # 去均值(假设零均值条件方差)

def neg_loglik(params):
  omega, alpha, beta = params
  if omega <= 1e-8 or alpha < 0 or beta < 0 or alpha + beta >= 0.999:
      return 1e10
  n = len(r); sig2 = np.empty(n); sig2[0] = r.var()
  for t in range(1, n):
      sig2[t] = omega + alpha * r[t-1]**2 + beta * sig2[t-1]
  return 0.5 * np.sum(np.log(2*np.pi) + np.log(sig2) + r**2 / sig2)

res = minimize(neg_loglik, [r.var()*0.1, 0.08, 0.88],
             method='Nelder-Mead', options={'maxiter': 3000, 'xatol': 1e-6})
omega, alpha, beta = res.x
print(f"GARCH(1,1) 估计: omega={omega:.2e}  alpha={alpha:.3f}  beta={beta:.3f}")
print(f"持续性 alpha+beta={alpha+beta:.3f}  (合成数据真值约 α=0.08 β=0.90)")

# 重建条件波动率(年化)
sig2 = np.empty(len(r)); sig2[0] = r.var()
for t in range(1, len(r)):
  sig2[t] = omega + alpha * r[t-1]**2 + beta * sig2[t-1]
cond_vol = np.sqrt(sig2) * np.sqrt(252)

plt.figure(figsize=(9, 3.5))
plt.plot(df.index[1:], cond_vol, color='crimson', lw=0.9)
plt.title('GARCH(1,1) 条件波动率（年化）：可见波动聚集')
plt.ylabel('年化波动率'); plt.tight_layout(); plt.show()

小结​

  • 收益均值难预测，但波动有聚集结构，可用 GARCH 建模；
  • GARCH(1,1)：σt2=ω+αεt−12+βσt−12\sigma_t^2=\omega+\alpha\varepsilon_{t-1}^2+\beta\sigma_{t-1}^2，MLE 估计；
  • α+β\alpha+\beta 衡量持续性，接近 1 表示波动记忆长。

小测验​

1. GARCH 建模的核心对象是？

2. α+β 接近 1 说明？

3. GARCH(1,1) 参数通常用什么方法估计？