协整与误差修正模型（ECM）

直觉

模块 4.4 配对交易 用到协整——两个非平稳序列的线性组合却平稳。这一节给出它的正式检验（Engle-Granger）与误差修正模型（ECM）：它不光说「价差会回归」，还量化「回归得多快」。

Engle-Granger 两步法

1. OLS 估计长期关系 $y_t = \alpha + \beta x_t$，得残差 $\hat\varepsilon_t$（价差）；
2. 对残差做 ADF 检验——若平稳（拒绝单位根），则 $y,x$ 协整。

误差修正模型

协整意味着存在长期均衡；ECM 描述「偏离均衡后如何调整」：

$$\Delta\,\text{spread}_t = \lambda\cdot \text{spread}_{t-1} + c + \eta_t$$

「人话」解释：λ 和半衰期

• $\lambda$（负值）：上一期偏离越大，本期回调越多——负号保证「向均值拉回」；
• 半衰期 $= \ln 2 / |\lambda|$：偏离消除一半所需的期数，衡量「橡皮筋拉得多紧」；
• $\lambda$ 越负、半衰期越短，套利机会「回归越快」。

可运行案例：AAPL/MSFT 的协整检验与 ECM

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

df = pd.read_csv('/data/aapl_msft_daily.csv', parse_dates=['date']).set_index('date')
la, lm = np.log(df['aapl_close']), np.log(df['msft_close'])

# Engle-Granger 第1步: OLS 估计长期关系
x, y = lm.values, la.values
beta = np.cov(x, y, ddof=0)[0,1] / np.var(x)
intercept = y.mean() - beta * x.mean()
spread = pd.Series(la - (intercept + beta * lm), index=la.index)

# 第2步: 残差 ADF
adf = adfuller(spread)
print(f"估计 β={beta:.3f}  (合成真值≈1.30，估计有偏差=教学点)")
print(f"价差 ADF: stat={adf[0]:.2f}, p={adf[1]:.3g}  → "
    f"{'协整(平稳)' if adf[1] < 0.05 else '不协整'}")

# ECM: Δspread_t = λ*spread_{t-1} + c
ds = spread.diff().dropna()
lag = spread.shift(1).dropna()
common = ds.index.intersection(lag.index)
X = np.column_stack([np.ones(len(common)), lag.loc[common].values])
b, *_ = np.linalg.lstsq(X, ds.loc[common].values, rcond=None)
lam = b[1]
print(f"\nECM 调整系数 λ={lam:.4f}  (负=均值回复)")
print(f"半衰期 ≈ {np.log(2)/abs(lam):.1f} 日  (偏离消除一半的速度)")

plt.figure(figsize=(9, 3.4))
plt.plot(spread, color='#2563eb', lw=0.9, label='价差(残差)')
plt.plot(spread.rolling(60).mean(), color='crimson', lw=1, label='60日均线')
plt.axhline(spread.mean(), color='gray', ls='--', lw=0.8)
plt.title('协整价差向均值回归（ECM 量化了回归速度）'); plt.legend()
plt.tight_layout(); plt.show()

小结

• Engle-Granger：OLS 估长期关系 → 对残差 ADF → 平稳即协整；
• ECM $\Delta s_t=\lambda s_{t-1}+c$，$\lambda<0$ 量化回归速度；
• 半衰期 $\ln2/|\lambda|$ 衡量「橡皮筋松紧」，是配对交易择时的依据。