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协整与误差修正模型（ECM）

:::info 学习目标 你将能完成 Engle–Granger 两步检验，解释对冲比率和误差修正速度，并识别结构突变、全样本估计与数据窥探对配对交易造成的风险。 :::

直觉​

模块 4.4 配对交易 用到协整——两个非平稳序列的线性组合却平稳。这一节给出它的正式检验（Engle-Granger）与误差修正模型（ECM）：它不光说「价差会回归」，还量化「回归得多快」。

Engle-Granger 两步法​

  1. OLS 估计长期关系 yt=α+βxty_t = \alpha + \beta x_t，得残差 ε^t\hat\varepsilon_t（价差）；
  2. 对残差做 ADF 检验——若平稳（拒绝单位根），则 y,xy,x 协整。

注意残差 ADF 的临界值与普通单序列 ADF 不完全相同，实作时优先使用专门的协整检验函数。检验前还应先确认两个序列大致同阶单整；若两者本身已平稳，“残差平稳”并不能说明存在通常意义上的协整关系。对多个候选配对反复筛选还会产生多重检验偏差。

误差修正模型​

协整意味着存在长期均衡；ECM 描述「偏离均衡后如何调整」：

Δ spreadt=λ⋅spreadt−1+c+ηt\Delta\,\text{spread}_t = \lambda\cdot \text{spread}_{t-1} + c + \eta_t
「人话」解释：λ 和半衰期
  • λ\lambda（负值）：上一期偏离越大，本期回调越多——负号保证「向均值拉回」；
  • 离散 ECM 的精确半衰期约为 −ln⁡2/ln⁡(1+λ)-\ln2/\ln(1+\lambda)；当 ∣λ∣|\lambda| 很小时才近似为 ln⁡2/∣λ∣\ln2/|\lambda|；
  • λ\lambda 越负、半衰期越短，套利机会「回归越快」。

可运行案例：AAPL/MSFT 的协整检验与 ECM​

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

df = pd.read_csv('/data/aapl_msft_daily.csv', parse_dates=['date']).set_index('date')
la, lm = np.log(df['aapl_close']), np.log(df['msft_close'])

# Engle-Granger 第1步: OLS 估计长期关系
x, y = lm.values, la.values
beta = np.cov(x, y, ddof=0)[0,1] / np.var(x)
intercept = y.mean() - beta * x.mean()
spread = pd.Series(la - (intercept + beta * lm), index=la.index)

# 第2步: 残差 ADF
adf = adfuller(spread)
print(f"估计 β={beta:.3f}  (合成真值≈1.30，估计有偏差=教学点)")
print(f"价差 ADF: stat={adf[0]:.2f}, p={adf[1]:.3g}  → "
    f"{'协整(平稳)' if adf[1] < 0.05 else '不协整'}")

# ECM: Δspread_t = λ*spread_{t-1} + c
ds = spread.diff().dropna()
lag = spread.shift(1).dropna()
common = ds.index.intersection(lag.index)
X = np.column_stack([np.ones(len(common)), lag.loc[common].values])
b, *_ = np.linalg.lstsq(X, ds.loc[common].values, rcond=None)
lam = b[1]
print(f"\nECM 调整系数 λ={lam:.4f}  (负=均值回复)")
print(f"半衰期 ≈ {np.log(2)/abs(lam):.1f} 日  (偏离消除一半的速度)")

plt.figure(figsize=(9, 3.4))
plt.plot(spread, color='#2563eb', lw=0.9, label='价差(残差)')
plt.plot(spread.rolling(60).mean(), color='crimson', lw=1, label='60日均线')
plt.axhline(spread.mean(), color='gray', ls='--', lw=0.8)
plt.title('协整价差向均值回归（ECM 量化了回归速度）'); plt.legend()
plt.tight_layout(); plt.show()

小结​

  • Engle-Granger：OLS 估长期关系 → 对残差 ADF → 平稳即协整；
  • ECM Δst=λst−1+c\Delta s_t=\lambda s_{t-1}+c，λ<0\lambda<0 量化回归速度；
  • 半衰期 ln⁡2/∣λ∣\ln2/|\lambda| 衡量「橡皮筋松紧」，是配对交易择时的依据。

实践与延伸​

  1. 用滚动窗口估计 β\beta 和 λ\lambda，观察它们是否稳定；若符号频繁变化，停止交易比继续调阈值更合理。
  2. 在合成配对中人为加入一次结构断裂，比较全样本检验与滚动检验的差别。

延伸阅读：Engle 与 Granger（1987）协整与误差修正；statsmodels 的 coint 与 VECM 文档。

章末自测

检查核心概念

1. 关于本章主题，哪项说法更准确？