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平稳性、白噪声与自相关（ACF）

:::info 学习目标 学完本章，你应能区分严格平稳与弱平稳，解释 ACF/ADF 各自检验什么，并避免把“未拒绝单位根”误写成“证明存在单位根”。先修：对数收益率、均值与协方差。 :::

直觉​

时间序列建模的第一问：这串数据「平稳」吗？ 平稳序列的统计性质（均值、方差）不随时间漂移，才能用历史预测未来。价格一般不平稳（一路漂移），而收益率近似平稳。**自相关函数（ACF）**和 ADF 检验是判断平稳性的两把尺子。

平稳与白噪声​

  • 平稳（stationary）：均值、方差不随时间变，自相关只依赖滞后阶数；
  • 白噪声：最特殊的平稳序列——自相关全为 0（没有任何可预测结构）。

ACF​

滞后 kk 的自相关：

ρk=Cov(xt,xt−k)Var(xt)\rho_k = \frac{\text{Cov}(x_t, x_{t-k})}{\text{Var}(x_t)}

画出 ρk\rho_k 随 kk 变化（相关图）：

  • 平稳序列的 ACF 快速衰减到 0；
  • 非平稳序列的 ACF 衰减很慢（长期记忆）。

置信带与检验边界​

样本 ACF 永远不会恰好等于零。对白噪声，单个滞后阶的近似 95% 置信带常写成 ±1.96/T\pm1.96/\sqrt{T}；只有显著越界的尖峰才值得关注。连续扫描很多滞后还会产生多重检验问题，因此应把 ACF 图、Ljung–Box 检验与经济逻辑结合，而不是看到一根尖峰就宣布“可预测”。ADF 的低功效也意味着：样本短或过程接近单位根时，p 值较大可能只是证据不足。

「人话」解释：ADF 检验在看什么？

ADF（ augmented Dickey-Fuller）检验「单位根」——原假设是「序列非平稳」。报告一个统计量与 p 值：p 越小越能拒绝非平稳（即越说明平稳）。 经验：p 小于 0.05 → 平稳。价格通常通不过（p 大），收益率能通过（p 小）。

可运行案例：价格 vs 收益的 ACF 与 ADF​

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.tsa.stattools import acf, adfuller

df = pd.read_csv('/data/spy_daily.csv', parse_dates=['date']).set_index('date')
close = df['adj_close']
ret = np.log(close / close.shift(1)).dropna()

def corrgram(x, lags, ax, title):
  a = acf(x, nlags=lags, fft=True)
  ax.bar(range(lags + 1), a, width=0.4, color='#2563eb')
  ci = 1.96 / np.sqrt(len(x))
  ax.axhline(ci, color='r', ls='--', lw=0.8); ax.axhline(-ci, color='r', ls='--', lw=0.8)
  ax.axhline(0, color='gray', lw=0.6); ax.set_title(title); ax.set_xlabel('lag')

fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 3.6))
corrgram(close, 30, ax[0], '价格 ACF（衰减慢 → 非平稳）')
corrgram(ret, 30, ax[1], '收益 ACF（快速归零 → 平稳）')
plt.tight_layout(); plt.show()

ap = adfuller(close); ar = adfuller(ret)
print(f"价格 ADF: stat={ap[0]:7.2f}  p={ap[1]:.3f}  → {'非平稳(有单位根)' if ap[1] > 0.05 else '平稳'}")
print(f"收益 ADF: stat={ar[0]:7.2f}  p={ar[1]:.3g}  → {'非平稳' if ar[1] > 0.05 else '平稳'}")
print("\n→ 价格不平稳、收益平稳；所以建模对象是收益(或对数价格差分)。")

小结​

  • 平稳序列才能建模预测；价格非平稳、收益近似平稳；
  • ACF 衰减快=平稳，衰减慢=非平稳；
  • ADF 检验单位根，p 小则平稳。

实践与延伸​

  1. 把样本截成前后两半，分别画收益 ACF；若结构明显变化，说明“平稳”只是近似。
  2. 将 ADF 与 KPSS（原假设为平稳）并用，记录四种结论组合分别意味着什么。

延伸阅读：Hyndman 与 Athanasopoulos《Forecasting: Principles and Practice》平稳性章节；Tsay《Analysis of Financial Time Series》。

下一节用 ARIMA 给平稳序列建立预测模型。

章末自测

检查核心概念

1. 关于本章主题，哪项说法更准确？